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【聚焦课堂 】

编辑:keyan 来源:365bet体育在线滚球 发布时间:2015年10月13日 点击数:
 

                                       初三数学组 商颖慧 

教学目标:掌握最值问题的解决方法,培养学生分析问题和解决问题的能力。

教学重难点:最值问题的分析及解决方法的探究过程。

教学过程:

课前预习:

1:传说早在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦。一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题。

 

 

 

 

 

 

将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的营地B开会,该怎样走才能使路程最短?据说海伦略加思索就解决了它。从此,这个被称为“将军饮马”的问题就广泛流传。请问,你能否解决这个问题,如果能,请说明理由。

讲授新课:

师: 今天开始大家一起研究几何图形中的最值问题,就是大家已经熟悉的“饮马问题”。

从这个实际问题中,大家可以抽化出一个数学模型——即一条直线和同侧的两个定点,而这条直线实际是本题中唯一的动点运动的轨迹,

其次,本题有明确要解决的问题——即求PA+PB的最小值,也即折线和最短问题。回顾所学几何常识,没有一个定理可以直接解决折线和最短问题,只有“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”涉及了几何中的“最值”问题,于是对此题一定需要转化;再次品味题中字眼 “同侧”二字,想想如果换成“异侧”又如何?如果是异侧,利用“两点之间,线段最短”,直接连接AB,则线段AB与直线的交点即为所求点P

联想于此,此题的解决方法关键首先在于把同侧两点转化为异侧两点,还要保证转化前后的距离相等,而利用轴对称图形可以实现这一目的,于是作点A关于直线l的对称点A’,则PA+PB=PA+PB,自然,利用“两点之间,线段最短”,连接AB,交直线l与点P,点P即为所求,从而将折线问题转化为直线问题。根据对称性大家不难发现做点B的对称点求得的点P与刚才相同,所以做这两点的任一点的对称点都可,而这条直线不仅是唯一一个动点形成的运动轨迹,而且还是解决该问题的对称轴,可见这条直线具有双重身份。

可见“饮马问题”实际是解决折线和最短问题。大家可以利用轴对称和勾股定理等常识解决。

针对练习:

先看练习1。(先让学生讲解,教师再总结提升)

1. 如图1所示,正方形ABCD的面积为12,ΔABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为________.

师:通过审题,发现是解决折线和最短的问题,类比例题,大家也能从背景图中抽出一条直线和同侧两点,自然可以利用例题的轴对称方法加以解决,因为做点D或点E的对称点都行,而背景图形是正方形,根据正方形的对称性大家选取点D的对称点B比较容易,所以PD+PE的最小值就是BD的值,依据题干所给线索很轻松地求出最小值为2■。

再看练习2

2.如图2,点A在半径为1的⊙O上,MN是⊙O的直径,∠AMN=30°,B为■的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为___________.

师:通过审题,发现依然是解决折线和最短的问题,类比前两道题,照样可以利用轴对称的性质解决问题。大家先取点B关于MN的对称点B’,连接AB,AB’即为所求,大家再利用圆中的基本性质——“垂径定理”和“同弧所对圆周角是圆心角的一半”得到直角三角形AOB’,从而求得AB=■,即PA+PB=■。

3.如图3,抛物线y=ax2+bx-4a经过A-1,0)、C0,4)两点,与x轴交于另一点B,点D在该抛物线的对称轴上,则ΔDAC周长的最小值为__________.

师:第三题虽有一点变化,是求?DAC的周长的最小值,但通过仔细审题,大家很容易发现点A、点C为定点,则AC之间的距离为定值,要使?DAC的周长的最小,只需DA+DC最小即可,这就把问题转化成了“饮马问题”,根据抛物线的对称性,大家去点A的对称点B比较方便,所以大家需要先求出点B的坐标,而要想求出点B的坐标先要求出抛物线的解析式,因为抛物线过点A(-1,0)C0,4),代入抛物线y=ax2+bx-4a,求得a=-1b=3,进而求得点B04),连接BC与抛物线的对称轴交点即为所求点D。ΔDAC的周长就是AC+BC=4+■。

对比这三道题,大家总结出一个规律:

1)动点的运动轨迹都是一条直线。

2)背景图都具有轴对称性,便于找对称点。选那个点作它的对称点都行,自然选择较为方便的。

3)都是利用轴对称图形,把“折线和最短问题”转化成“两点之间,线段最短”加以解决。这也是饮马问题的核心内容。

4.已知在△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.

1)写出△ABC 的面积yBC的长之间的函数关系式,并求出当BC多长时,△ABC 面积最大?最大面积是多少?

2)当△ABC 面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说明理由,并求出其最小周长。

师:再看第5题,与前几道题的最大区别是没有图形,大家先画出草图,再加以分析。发现是由于高无法确定,致使周长有变化,而确定高的关键是顶点A所运动的轨迹——一条直线。于是,此题也是“饮马问题”。

(此后部分,学生尝试讲解,教师引导,点拨,归纳总结)

拓展延伸:

2.如图,一位将军骑马从驻地A出发,先牵马去草地OM吃草,再牵马去河边ON喝水,最后回到驻地A,问:这位将军怎样走路程最短?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

针对练习:

如图,角形架的∠MON=30°,AD分别是OMON上的定点,且OA=7OD=24.需在OMON上分别找到点CB,使AB+BC+CD的值最小,请在图中画出点BC,此时AB+BC+CD的最小值为_______.

课后巩固:

1.如图4,在等边ΔABC中,AB=6,点EAB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使PB+PE最小,则这个最小值为________.

2.如图5,在RtΔABC中,∠C=90°,∠B=60°,点DBC边上的点,CD=,将ΔABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则ΔPEB的周长的最小值是___________.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.如图6RtΔOAB的顶点Ax轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,■),点C的坐标为(1,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为___________.

4.如图7,点Aa1)、B-1b)都在双曲线y=-(x<0)上,点PQ分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是__________.

5.如图8,已知点P是四边形ABCD内一点,

1 分别在边ABBC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.

2 若∠B=60°,BP=10,则PM+PN=__________.

 

 

 

 

 

 

 

师:本节课大家主要是通过轴对称把“折线和问题”转化成“两点之间距离最短问题”或“垂线段最短问题”加以解决,而且体会了类比的学习方法和“以静制动”的手段。大家可以想想:是不是几何图形中只有最小值问题?……以后可能大家还会遇到几何图形中的最大值问题。是不是只有利用轴对称来解决问题?……大家还学过旋转、圆、平面直角坐标系等常识,它们都有可能成为解题的手段。希翼同学们学会分析、学会动脑、大胆研究,能像孙悟空那样有一双火眼金睛,一下子从复杂图形中抽出大家要研究的基本图形。

课后反思:

因为本节是初三第二轮专题复习时一系列的专题,是中考易考点,也是学生的难点,从学生熟悉的“饮马问题”出发,能使学生很快进入状态,虽然“饮马问题”大家都知道如何解决,但缺少对问题本质的分析,而这才是解决这类问题的关键,所以我在分析饮马问题时总结了问题所涉及的方法和本质,为后面难题奠定了基础。

在学生讲解完之后,教师的语言最好不是简单的重复,而是从题目之间的联系和区别,引导学生类比分析,总结归纳解题的技巧和方法,挖掘题目本质所涉及到的常识点,板书要有重点,并给出学生整理的时间。

再则,让学生尝试难题分析时,引导他们与前边基础题的对比,和解题方法之间的相同点和不同点,并分析相同的原因和不同的原因,潜移默化地培养学生审题时要抓住关键字词。

第四,讲完课之后我再次收上来,检查学生的落实情况,针对没有落实的学生又逐一订正,逐一再次引导,力争学一点、会一点、提高一点。


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